OPERASI BENTUK ALJABAR

1. Penjumlahan dan Pengurangan Aljabar

a. Sifat Komutatif

a + b = b + a

b. Sifat Asosiatif

(a+b) + c = a + (b+c)

c. Sifat Distributif

a (b+c) = ab + ac

Contoh

• 6mn + 3mn = 9 mn
• 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2 = 6m + 3m2 – 3n2 – 2m2 + 3n2
  = m2 + 6m

2. Perkalian Bentuk Aljabar

a. Perkalian satu suku dengan suku dua

contoh
–9p(5p – 2q) = -45p2 + 18 pq

b. Perkalian suku dua dengan suku dua
contoh

(x+5) (x+3)	= (x+5) x + (x+5) 3
	= x2 + 5x + 3x + 15
	= x2 + 8x + 15

3. Pembagian Bentuk Aljabar

“pembagian bentuk aljabar akan lebih mudah jika dibuat dalam bentuk pecahan”

Contoh
9x : 3 = 9x/3 = 3x
15pq : 5q = 15pq / 5 q = 3p

4. Perpangkatan Bentuk Aljabar

Materi pangkat sebenarnya sudah dipelajari dikelas 7 SMP. Pada intinya sama, bilangan pangkat didefinisikan sebagai:

an = a x a x a x … x a (a sebanyak n)

Contoh jika diaplikasikan dalam bentuk aljabar

(2a)3 = 2a x 2a x 2a = 2 x 2 x 2 x a x a x a = 8a3
(4x2y)2 = 4x2y x 4x2y = 16 x4 y2

• (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
• (a-b)2 = a2 – 2ab + b2

PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR

1. Pemfaktoran menggunakan Sifat Distributif

Contoh:
Coba sobat tentukan Faktor dari  5ab + 10b
untuk menentukan faktor dari 5ab + 10b sobat cari dulu faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 5 dan 10 serta dari ab dan b. FPB dari 5 dan 10 adalah 5 dan persekutuan terbesar ab dan b adalah b. Jadi kita keluarkan 5b.

5ab + 10b = 5b (a+2b)

2. Pemfaktoran Selisih Dua Kuadrat

Yang disebut dengan bentuk selisih dua kuadrat adalah:

a2 – b2 = (a+b) (a-b)

Contoh
25x2 – y2 = (5x + y) (5x – y)
20p2 – 5q2 = 5 (4p2 – q2) = 5 (2p + q) (2p – q)

3. Pemfaktoran Bentuk Kuadrat

a. Pemfaktoran ax2 + bx + c dengan a = 1
Bentuk aljabar kuadrat x2 + (p + q)x + pq dapat sobat difaktorkan menjadi (x + p) (x + q).

Misalkan, x2 + (p + q)x + pq = ax2 + bx + c sehingga a = 1, b = p + q,dan c = pq.

Dari pemisalan tersebut, dapat dilihat bahwa p dan q merupakan faktor dari c. Jika p dan q dijumlahkan, hasilnya adalah b. Dengan demikian untuk memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari c dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan b.

Contoh
x2 + 5x + 6 = (x + …) (x + …)
Sobat misalkan, x2 + 5x + 6 = ax2 + bx + c, diperoleh a = 1, b = 5, dan c = 6.
Untuk mengisi titik-titik, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari 6 dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan 5. Faktor dari 6 adalah 6 dan 1 atau 2 dan 3, yang memenuhi syarat adalah 2 dan 3 karena 2 + 3 = 5

Jadi, x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)

b. Pemfaktoran Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1
Sebelumnya, sobat telah memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1. Sekarang kamu akan mempelajari cara memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1.

Perhatikan contoh berikut:

(x + 3) (2x + 1)	= 2x2 + x + 6x + 3
	= 2x2 + 7x + 3

Dengan kata lain, bentuk 2x2 + 7x + 3 difaktorkan menjadi (x + 3) (2x + 1). Adapun cara memfaktorkan 2×2 + 7x + 3 adalah dengan membalikkan tahapan perkalian suku dua di atas.

2x2 + 7x + 3

= 2x2 + (x + 6 x) +3 = (2x2 + x) + (6x + 3) = x (2x + 1) + 3(2x + 1) = (x + 3)(2x+1)

Dari penjelasan di atas sobat dapat menyimpulkan untuk melakukan pemfaktoran ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Uraikan bx menjadi penjumlahan dua suku yang apabila kedua suku tersebut dikalikan hasilnya sama dengan (ax2)(c). –> b = a x c
2. Faktorkan bentuk yang diperoleh pada langkah 1 dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan –> be creative 😀

2x2 + 11x + 12

= 2x2 + 3x + 8x + 12 (11 diuraikan 3 dan 8, 3 x 8 = 2 x 12) = (2x2 + 3x) + (8x + 12) = x(2x + 3) + 4(2x + 3) = (x + 4)(2x + 3)

PECAHAN DALAM BENTUK ALJABAR

 1. Pengurangan dan Penjumlahan Pecahan dalam Bentuk Aljabar

Pada prinsipnya sama, cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan bentuk aljabar adalah sama dengan menjumlahkan dan mengurangkan pada pecahan biasa, yaitu dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu. Silahkan sobat perhatikan contoh berikut:

untuk pengurangan simak contoh berikut

2. Perkalian dan Pembagian Bentuk Aljabar

a. Perkalian

Caranya hampir sama persis dengan perkalian pecahan. Pembilang kali pembilang, penyebut kali penyebut lalu sederhanakan jika ada yang bisa disederhanakan. Rumusnya:

Contoh

b. Pembagian

Cara pembagian peahan aljabar sama dengan pembagian pecaha. Sobat bisa mengubahnya ke bentuk perkalian dengan membalik pecahan aljbar pembagi. Rumusnya:

contoh soal:

c. Penyederhanaan Pecahan bentuk Aljabar

Untuk bisa menyederhanakan pecahan aljabar sobat harus memegang prinsip, ketika ada faktor persekutuan yang sama antara pembilang dan penyebut maka bisa disederhanakan. Faktor persekutuan bisa berupa angka maupun variable dengan jenis dan pangkat yang sama. Simak contoh berikut:

Sederhanakan pecahan

10p/24pr

Dari pecahan di atas, ada faktor persekutuan yang sama antara pembilang dan penyebut yaitu 2p. Faktor persekutuan ini kita coret sehingga menjadi

10p/24pr = 2p . 5 / 2p . 12 r = 5/12r

Dalam beberapa kasus soal biasanya penyederhanaan pecahan dilakukan dengan terlebih dahulu melakukan pemfaktoran. Berikut contohnya