RELASI DAN FUNGSI

A. Relasi

Misalkan M= { Adi, Bela, Cintia, Devi, Eli}, dan N={Musik, Tari, Teater}

Hubungan antara  anggota himpunan M dan anggota himpunan N dinamakan Relasi.

Definisi :

Relasi dari himpunan M ke himpunan N adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan M ke anggota-anggota himpunan N.

• Menggunakan diagram panah

Relasi antara himpunan A dengan himpunan B dinyatakan dengan panah-panah yang memasangkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. Karena penggambarannya menggunakan bentuk panah (arrow) maka disebut dengan diagram panah. Contoh:

• Himpunan pasangan berurutan

Jadi relasi antara himpunan A dengan himpunan B dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x,y) dengan x ∈ A dan y ∈ B. Contohnya: 

• Diagram kartesius

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan ke dalam pasangan berurutan yang kemudian dituangkan dalam dot (titik-titk) dalam diagram cartesius. Contonya:

Contoh soal:

DIketahui himpunan A dan B sebagai berikut.

A= {Anton, Bea, Cita, Doni, Evan}

B= { sepak bola, basket, badminton}

Bentuklah relasi berolahraga jika diketahui Anton dan Cita berolahraga basket, Bea berolahraga badminton, serta Doni dan Evan berolahraga sepak bola.

                     A                                             B

B. Fungsi dan Grafik Fungsi

      Selain fungsi dikenal juga istilah pemetaan. Keduanya memiliki makna yang sama. Grafik fungsi adalah grafik yang menggambarkan bentuk suatu fungsi dalam diagram cartesius. Grafik ini diperoleh dengan menghubungkan noktah-noktah yang merupakan pasangan berurutan antara daerah asal (sumbu x) dan daerah hasil (sumbu y).

Himpunan A = {Jakarta, Kuala Lumpur,  Paris, Teheran, Tokyo}

Himpunan B = {Indonesia, Iran, Jepang, Malaysia,  Perancis}

Akan dibuat Relasi Ibukota dari himpunan A ke Himpunan B.  Perhatikan diagram panah berikut.

Pada diagram, terlihat bahwa Relasi dari A ke B memiliki sifat-sifat sebagai berikut.

1. Setiap anggota A mempunya Kawan di B
2. Tidak ada anggota A yang mempunyai kawan lebih dari satu di B.

        Relasi yang memenuhi sifat-sifat diatas merupakan Relasi Khusus yang dinamakan         Fungsi.

Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah Relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A tepat satu anggota B .

     a. Domain (Daerah Asal), Kodomain (Daerah Kawan), dan Range (Daerah Hasil).

          Perhatikan Gambar berikut :

        

• A= { a, b, c, d } dinamakan daerah asal (Domain)
• B = { p, q, r, s } dinamakan  daerah kawan (Kodomain)

     b. Banyaknya pemetaan dari Dua Himpunan

           Jika banyaknya himpunan A adalah n(A) dan banyak himpunan B adalah n(B),                           maka banyak pemetaan dari A ke B adalah   

           Banyaknya pemetaan dari B ke A adalah  

          Contohnya:

           Diketahui n(A)= 4 , n(B)= 4, maka banyak pemetaan dari A ke B adalah

            Penyelesaian:

           

• Menentukan nilai fungsi dengan cara mensubstitusikan nilai x pada rumus fungsi f(x).

Contoh:

Tentukan rumus fungsi . Kemudian tentukan nilai fungsi untuk x= -4 dan x = 3.

Penyelesaian:

Rumus fungsi    adalah

 

a) Nilai fungsi untuk x= -4

       

                     = 16-1                 

                    =  15

b) Nilai fungsi untuk x= 3

      

                = 9-1

               = 8

• Menghitung Nilai Dari Sebuah Fungsi

Menghitung nilai dari sebuah fungsi cukup sederhana.  Hanya perlu mengikuti rules dari fungsi tersebut. Semakin susah fungsi yang memetakannya maka akan semakin susah menghitung nilai fungsinya. Terkadang soal-soal membalik fungsi tersebut, diketahui daerah hasil kemudian diminta mencari daerah asal. Perhatikan contoh berikut:

Diketahui fungsi f : x → 2x – 2 dengan x anggota bilangan bulat. Coba sobat tentukan nilai dari:

1. f(3)
2. f(4)
3. bayangan (-3) oleh f
4. nilai f untuk x = -10
5. nilai a jika f(a) = 14

Jawaban:
fungsi fungsi  dapat dinyatakan dengan  f(x) = 2x – 2

1. f(x)=2x–2
   f(1) = 2(3) – 2 = 4
2. f(x)=2x–2
   f (4) = 2(4) – 2 = 6
3. f(x)=2x–2
   f(-3) = 2(-3) – 2 = -8
4. f(x)=2x–2
   f(10) = 2(10) -2 = 18
5. f(a)=2a–2
   14=2a-2
   2a=16
   a = 8

***

Latihan

1. Diketahui himpunan A dan B sebagai berikut

          A= {8, 21, 27, 30, 64, } dan    B= {2, 3, 4 , 5}. Buatlah relasi pangkat tiganya dari                         himpunan  A ke himpunan B.

     2. Diketahui A={ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9} dan B={ 1, 2, 3, 4}

         Buatlah relasi dua kalinya dari  dari himpunan A ke   himpunan b dalam bentuk

           a. diagram panah

           b. Himpunan pasangan berurutan

           c. Diagram cartesius

    3. Diketahui A= { 2, 6, 10, 14, 18} dan B= { 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9} . Fungsi A ke B ditentukan                 oleh relasi dua kalinya dari.

         a. Tentukan fungsi tersebut dalam bentuk diagram panah, dan diagram cartesius                    b. Tentukan domain, kodomain, dan range fungsi tersebut !

     4.  Buatlah tabel dari pemetaan  dari himpunan { 0, 1, 2, 3, 4} ke                             himpunan bilangan real R. kemudian gambarkan grafiknya.